• [新编]高考数学文一轮分层演练:第2章函数的概念与基本初等函数章末总结-可编辑

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    章末总结

    二、根置教材,考在变中 一、选择题

    1.(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )=32-

    x 的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B =( ) A .(0,2] B .[1,2] C .[0,1] D .(1,2)

    解析:选B.因为A ={x |x ≤2},B ={y |y ≥1},所以A ∩B =[1,2],故选B.

    2.(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a =log 87,b =log 43,c =log 73,则a ,b ,c 的大小关系为( )

    A .a >b >c

    B .a >c >b

    C .b >a >c

    D .b >c >a

    解析:选A.由a =log 87得8a =7,即23a =7,2a

    =713,即a =log 2713

    .由b =log 43得4b =3,即22b

    =3,2b

    =312

    ,即b =log 2312

    .又()7

    13

    6=49,()312

    6

    =27.所以713>312

    ,则a >b .由于1<4<7,

    所以log 43>log 73,即b >c ,所以a >b >c .

    3.(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )=a -x 1+x ,且f ????

    f (b )对于b ≠-1时恒成立,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2

    D .-1

    解析:选B.因为f (x )=a -x 1+x

    ,由f ????

    f (b ),得a -

    1b 1+1b

    b 1+b ,化简得(a -1)(b +1)=

    0.要使上式对于b ≠-1恒成立,则a -1=0,所以a =1.

    4.(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (4)=f (-2)=0,在区间(-∞,-3)与[-3,0]上分别单调递增和单调递减,则不等式xf (x )>0的解集为( )

    ∞,-4)∪(4,+∞)

    4,-2)∪(2,4)

    ∞,-4)∪(-2,0)

    ∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4)

    解析:选D.因为f (x )是偶函数,所以f (4)=f (-4)=f (2)=f (-2)=0,又f (x )在(-∞,-3),[-3,0]上分别单调递增与单调递减,所以xf (x )>0的解集为(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4),故选D.

    5.(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y =(x 3-x )2|x |的图象大致是( )

    解析:选B.易判断函数为奇函数.由y =0得x =±1或x =0.且当01时,y >0,故选B.

    6.(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x -2的零点为a ,函数g (x )=ln x +x -2的零点为b ,则下列不等式中成立的是( )

    A .f (a )B .f (a )C .f (1)D .f (b )解析:选A.由题意,知f ′(x )=e x +1>0恒成立,所以函数f (x )在R 上是单调递增的,而f (0)=e 0+0-2=-1<0,f (1)=e 1+1-2=e -1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1);由题意,知g ′(x )=1

    x +1>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上是单调递增的,又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,

    =ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g (x )的零点b ∈(1,2).综上,可得07.(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )=

    3x

    x -4

    的图象与直线x +my -3m -4=0有两个交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2

    x 1+x 2

    等于( )

    A .4

    3

    B .34

    C .-4

    3

    D .-34

    解析:选B.因为f (x )=

    3x x -4=3(x -4)+12x -4=3+12x -4

    ,其图象是由y =12x 向右平移4

    个单位后,再向上平移3个单位得到,所以函数f (x )=

    3x

    x -4

    的图象关于点(4,3)对称,又直线x +my -3m -4=0,即为(x -4)+m (y -3)=0,从而恒过定点(4,3).所以A (x 1,y 1)与B (x 2,y 2)关于点(4,3)对称,所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=6,所以y 1+y 2x 1+x 2=68=34

    .

    8.(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )=|2x -1|,a f (c )>f (b ),则下列结论中,一定成立的是( )

    A .a <0,b <0,c <0

    B .a <0,b ≥0,c >0

    C .2-a <2c

    D .2a +2c <2

    解析:选D.作出函数f (x )=|2x -1|的图象如图中实线所示,又a f (c )>f (b ),结合图象知f (a )<1,a <0,c >0,所以0<2a <1,所以f (a )=|2a -1|=1-2a ,所以f (c )<1,所以0f (c ),即1-2a >2c -1,所以2a +2c <2,故选D.

    二、填空题

    9.(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1),则a 的范围为________.

    解析:当01时,log a 2<1即为log a 22,综上所述a 的范围为(0,1)∪(2,+∞).

    答案:(0,1)∪(2,+∞)

    10.(必修1 P 23练习T 3改编)函数y =|x +a |的图象与直线y =1围成的三角形的面积为__________.

    解析:作出其图象如图所示,

    由?

    ????y =|x +a |,y =1,得A (-1-a ,1),B (1-a ,1),所以|AB |=2,所以S △ABC =12×2×1=1.

    答案:1

    11.(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v =a log 3Q

    100,其中v 的单位为m/s ,Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数,a 为正常数.已知一条鲑鱼

    游速为3

    2 m/s 时,其耗氧量为2 700个单位数,则当它的游速为2 m/s 时,它的耗氧量是静

    ?#25925;?#32791;氧量的________倍.

    解析:当Q =2 700时,v =32 m/s.所以32=a log 32 700100,所以a =12.即v =12log 3Q

    100.所以当

    v =2时,2=12log 3Q 100,此时Q =8 100,当v =0时,0=12log 3Q

    100,此时Q =100.所以游速2

    m/s 时的耗氧量是静?#25925;?#32791;氧量的8 100

    100

    =81倍.

    答案:81

    12.(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )=e x +k e -

    x 为奇函数,函数g (x )是f (x )的导函数,有下列4个结论:

    ①[f (x )]2-[g (x )]2为定值;

    ②曲线f (x )在任何一点(x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角; ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点; ④f (2x )=2f (x )g (x )恒成立.

    则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上).

    解析:因为f (x )=e x +k e -x 为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即e -x +k e x =-e x -k e -

    +1)(e -x +e x )=0.所以k =-1.即f (x )=e x -e -x .则g (x )=f ′(x )=e x +e -

    x ,所以[f (x )]2-[g (x )]2=(e x -e -

    x )2-(e x +e -

    -4为定值,故①正确.又f ′(x )=e x +e -

    x ≥2e x ·e -

    x =2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在?#25105;?#19968;点(x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角,故②

    正确.③由f (x )=g (x ),即e x -e -x =e x +e -x 得e -

    x =0,无解.即函数f (x )与g (x )的图象无交

    点,故③错误.④f (2x )=e 2x -e -2x ,f (x )g (x )=(e x -e -x )(e x +e -x )=e 2x -e -

    2x ,所以f (2x )=f (x )g (x ),所以f (2x )=2f (x )g (x )恒成立错误,故④错误.

    答案:①②

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