• 非线性规划的基本概念和基本原理

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    第七章

    非线性规划的基本概念 和基本原理

    1

    \f7.1 数学模型和基本概念

    非线性规划是运筹学中包含内容最多, 应用最广泛的一个分支,计算远比线性 规划复杂。

    2

    \f一、数学模型 例 某单位拟建一排 厂房,厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制,围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大,应如何选择 长宽尺寸?

    x1

    x2

    max f ( x ) ? x1 x2 ?2 x1 ? 5 x2 ? 80 ? ? x1 , x2 ? 0

    f(x)为非线性函数

    3

    分析:设长为 x1 米, 宽为 x2 米,则有

    \f例 设某物理过程具有如下规律

    用试验法 求得ti时的? (ti )值, i ? 1,2,? ? ?, m。 现要确定参数 x1, x2 , x3 , 使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平 方和为最小,且满足 x1 ? x2 ? 1, x3 非负。

    ? (t ) ? x1 ? x2e? x3t

    4

    \f分析:

    min f ( x) ? ? [? (ti ) ? ( x1 ? x2 e ? x3ti )]2

    i ?1 m

    ? x1 ? x2 ? 1 ? ? x3 ? 0

    f(x)为非线性函 数,求最小。

    非线性规划: 目标函数或(和)约束条件为非线性函数 的规划。

    5

    \f一般模型 Min f(X)

    s.t. hi(X) = 0

    (i=1,2,….m)

    (P)

    gj(X) ? 0 (j=1,2….l)

    X ? En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。

    (1) ?min f(x) ? ?g j(x) ? 0 ,j ? 1,2, ? ? ? ,l

    目标函数 (2) 约束条件

    6

    \f二、基本概念

    1、全局极值和局?#32771;?#20540;

    f ( X ) 为目标函数,S 为可行域。若存在 X * ? S , ?X ? S ,都 * 有 f ( X ) ? f ( X * ),则称 X 为该问题的全局极小点,

    f ( X * ) 为全局极小值。

    f ( X ) 为目标函数,S 为可行域。若有X * ? S , X ? X * , ?X ? S , * * 都有 f ( X ) ? f ( X ) ,则称 X 为该问题的严格全局极小点,

    f ( X * ) 为严格全局极小值。

    7

    \f若存在 X * ? S , ? ? 0 ,令 N ? ? { X | X ? X * ? ? , ? ? 0} , ?X ? S ? N? ( X * ) 都有 f ( X ) ? f ( X * ) , 则称 X *为 该问题的局?#32771;?#23567;点,f ( X * ) 为局?#32771;?#23567;值。

    * 若存在 X * ? S , ? ? 0 ,令 N ? ? { X | X ? X ? ? , ? ? 0} , * * ?X ? S ? N? ( X * ), X ? X * 都有 f ( X ) ? f ( X ) , 则称 X 为 f ( X * ) 为严格局?#32771;?#23567;值。 该问题的严格局?#32771;?#23567;点,

    相应不等式反号,得到相应极大点,极大值定义。

    8

    \f定义

    如果X满足(P)的约束条件

    (i=1,2,….m)

    hi(X)=0

    gj(X) ? 0 (j=1,2….l)

    则称X ? En 为(P)的一个可行解。 记(P)的所有可行解的集合为D, D称为(P)可行域。

    9

    \f定义 X*称为(P)的一个(整体)最优解,如 果X* ?D,满足 f(X) ? f(X*),? X ?D。 定义 X*称为(P)的一个(局部)最优解,如 果X* ?D,且存在一个X*的邻域 N(X* ,?)= 满足 f(X) ? f(X*), ? X ?D? N(X* ,?)

    10

    X ? En X- X* < ? , ?>0

    \f局部最优解

    f(X)

    整体最优解

    11

    \f2.梯度向量 ?f(X)=gra\r

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