• 空间几何体的表面积与体积

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    柱体、锥体、台体的表面积

    \f提出问题

    在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

    几何体表面积

    展开图

    平面图形面积 平面问题

    空间问题

    \f引入新课

    正方体、长方体是由多个平面围成的几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

    棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

    \f棱柱的展开图

    棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

    h

    正棱柱的侧面展开图

    \f棱锥的展开图

    棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

    正棱锥的侧面展开图

    h

    /

    h

    /

    \f棱锥的展开图

    棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

    侧面展开

    h'

    正棱锥的侧面展开图

    h'

    \f棱锥的展开图

    棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

    侧面展开

    h'

    正棱台的侧面展开图

    h'

    \f棱柱、棱锥、棱台的表面积

    h'

    h'

    棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

    \f典型例题

    例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,

    A B D C

    3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2

    ?

    交BC于点D.

    S ?ABC 所以:

    1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

    因此,四面体S-ABC 的表面积.

    \f思考

    ? 求多面体的表面积可以通过求

    各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的面积该如何求呢?

    \f圆柱的表面积

    r O?

    l

    O

    2?r

    圆柱的侧面展开图是矩形

    S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )

    2

    \f圆锥的表面积

    2?r

    l

    r

    O

    2

    圆锥的侧面展开图是扇形

    S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

    \f圆台的表面积

    参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

    r 'O’

    l

    2?r '

    2?r

    r

    O

    2 2

    圆台的侧面展开图是扇环

    S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

    \f三者之间关系

    圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

    r O?

    r 'O’

    l

    O

    r ’= r

    上底扩大

    l

    r ’= 0

    上底缩小

    l

    r

    O

    r

    O

    S柱 ? 2?r (r ? l )

    S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

    \f典型例题

    例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底?#21487;?#27700;圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14\r

    空间几何体的表面积与体积公式大全

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