• 希望杯第6届八年级第2试及答案

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    希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题

    一、选择题,以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.

    1.设x0是方程的一个不为1的根,则[ ]

    A.x0>2x0>x20. B.x20>x0>2x0. C.x20>2x0>x0. D.2x0>x20>x0

    2.设a是一个满足下列条件的最大的正整数,使得用a除64的余数是4;用a除155的余数是5;用a除187的余数是7.则a属于集合 [ ]

    A.{3,4,6}; B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}

    3.某位同学在代数变形中,得到下列四个式子:

    (1);(2)当x=2时,分式的值均为0;

    (3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn·x-3xn+xn×=xn;

    (4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=.

    其中正确的个数是 [ ]

    A.1个. B.2个. C.3个 D.4个.

    4.A,B,C,D,E,F六个足球队进行单循环赛,当比赛进行到某一天时,统计出A,B,C,D,E五队已分别比赛了5,4,3,2,1场球,由此可知,还没有与B队比赛的球队是[ ]

    A.C队 B.D队. C.E队 D.F队

    5.如图31,已知等边△ABC的周长为6,BD是AC边的中线,E为BC延长线上一点,CD=CE,那么△BDE的周长是 [ ]

    A.5+2; B.5+; C.3+2; D.3+.

    6.如图32,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的?#25105;?#19968;点,设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则m+n与b+c的大小关系是 [ ]

    A.m+n>b+c. B.m+n=b+c . C.m+n<b+c. D.m+n>b+c或m+n<b+c

    7.两个全等的直角三角形(不等腰)纸片,可以拼成n个不同形状的四边形,则n的值为[ ] A.3. B.4. C.5. D.6.

    8.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,则这个四边?#25105;?#23450;是 [ ]

    A.两组角分别相等的四边形. B.平行四边形.

    C.对角线互相垂直的四边形. D.对角线长相等的四边形.

    9.已知a,b,c为三个连续奇数(a<b<c=,且它们均为质数,那么符合条件的三数组(a,b,c)有 [ ]

    A.0 组. B.1组. C.2组. D.多于2组.

    10.在边长为的正方?#25991;?#26377;?#25105;?个点(包括落在四条边上),将其中?#25105;?#20004;点与正方形中心连结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ ]

    A.; B.; C.; D..

    二、填空题

    1.\t计算:1995×+1996×-1994×-1995×=______.

    2.\t直角三角形的周长是2+,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.

    3.若x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式,且2a2+3ab+b20,则分式的值为_______.

    4.设[x]表示不大于x的最大整数,如=3,则=____.

    5.如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF的大小是_____.

    6.若△ABC的三条边a,b,c满足关系式:a4+b2c2-a2c2-b4=0,则△ABC的形状是_____.

    7.若不等式3x a≤0的所有正整数解的和是15,则a的取值范围是_____.

    8.如图34,△ABC中,AB>AC,AH⊥BC,M为AH上异于A的一点,比较AB-AC与MB-MC的大小,则AB-AC_____MB-MC(填“>”,“=”或“<”=.

    9.方程x2-y2=1995的正整数解共有_____组.

    10.设x,y是不大于10的自然数,x除以3的余数记为f(x),y除以4的余数记为g(y).当f(x)+2g(y)=0时,x+2y的最值是_____.

    三、解答题

    1.(1)已知a1,a2,a3为三个整数,且a1≤a2≤a3,三个数中的每一数均为其它两数的乘积,求所有满足条件的三数组(a1,a2,a3).

    (2)如果a1,a2,a3,a4,a5,a6为6个整数,且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6,六个数中?#25105;?#20010;数均为其它五个数中某四个数的乘积,那么满足上述条件的数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)共有多少组?请?#24471;?#29702;由.

    2.一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A,B,C,D,E,F,G的风景点(如图35).现要开设一些公共汽车线路,满足以下条件:

    (a)由每个风景点可不换车到达其它?#25105;环?#26223;点.

    (b)每条汽车线路只连结3个风景点.

    (c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点.

    (1)该旅游区应开设几条公共汽车线路?

    (2)若风景点,,在一条线路?#24076;?#21017;该公共汽车线路写成A—B—C.

    试写出该旅游区完整的公共汽车线路图.

    答案·提示

    一、选择题

    提示:

    2.据题意,a可整除60,150,180.故a是60,150,180的最大公约数,a=30,选(D).

    3.显然①式不成立;在②式中,当x=-2时,分母为0,故②式不成立;当x=0时,③式不成立;只有④式成立.故选(A).

    4.每个队分别与其它队比赛一场,最多赛5场,A队已经赛完5场,则每个队均与A队赛过,E队仅赛一场(即与A队赛过),所以E队还没有与B队赛过.选(C).

    5.△ABC的周长为6,∴AB=BC=AC=2,DC=CE=1,又∠ACB=∠CDE+∠CED

    ∴∠CED=30°,△BDE为等腰三解形,DE=BD=

    6.如图36,在BA的延长线上取AF=AC,连接PF,在△APC和△APF中,AC=AF,

    ∠CAP=∠FAP,AP=AP.

    ∴△APC≌△APF,PC=PF

    ∴m+n=BP+PC=BP+PF>BF

    =BA+AF=BA+AC=c+b.故选(A).

    7.如图37,可拼成4个不同的四边形,故选(B).

    8.由已知得(a-b)2+(c-d)2=0.∴a=b,c=d.如图38,四边形是由两个同底等腰三角形拼接而成,故两条对角线互相垂直,故(C).

    9.3,5,7是三个连续奇数,且均为质数,∴3,5,7为符合条件的三数组,若a>3且a为质数,则a可分为被3除余1或2的两类.

    若a=3m+1,m为自然数,则b=a+2=3m+3为合数.

    若a=3m+2,m为自然数,则c=a+4=3m+6也是合数,故当a>3时,没有符合条件的三数组,故选(B).

    角形中,根据抽屉原则,则至少有一个三角形中有两个点.那么这两个点与正方形中心连成的三角形

    二、填空题

    提示:

    1.1995×+1996×-1994×-1995×1961996

    =1995×1994×10001+1996×1995×10001-1994×1995×10001-1995×1996×10001=0

    2.Rt△ABC斜边上的中线长为1,∴斜边

    3.∵x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式,根据余数定理知,f(-2)=0.即(-2)3+(-2)2-2a+b=0,∴b-2a=4.

    ∴原式=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19+10=625

    5.如图40,连接AC,在△ABE和△ACF中AB=AC,∠B=60°=∠ACF,∠BAE=∠CAF=60°-∠EAC

    ∴△ABE≌△ACF,AE=AF,又∠EAF=60°

    于是可知△AEF是等边三角形,∠AEF=60°,∠CEF=∠CEA-∠AEF,∠CEA=∠B+∠BAE=80°,∴∠CEF=20°.

    6.将a4+b2c2-a2c2-b4=0因式分解得

    (a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0

    即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0

    ∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0

    ∴△ABC为等腰三角?#20301;?#30452;角三角形.

    即15≤a<18

    8.∵AH⊥BC,有AB2=AH2+BH2,AC2=AH2+HC2

    ∴AB2-AC2=BH2-HC2

    又MH⊥BC,同理有MB2-MC2=BH2-HC2

    ∴AB2-AC2=MB2-MC2.

    即(AB+AC)(AB-AC)=(MB+MC)(MB-MC)

    又M点在△ABC内,∴AB+AC>MB+MC

    则AB-AC<MB-MC

    9.由x2-y2=1995得(x+y)(x-y)=1995,其中x+y,x-y分别为1995的两个约数,且x+y>x-y,又1995=3×5×7×19,所以1995的正约数的个数有2×2×2×2=16个,共可分成8组,即:

    10.x除以3的余数有三种,即余0,余1,余2.

    y除以4的余数有四种,即余0,余1,余2,余3.

    当f(x)+2g(y)=0时,只有f(x)=0且g(y)=0,

    ∴ x最大取9,y最大取8,x+2y的最大值是25.

    三、解答题

    1.(1)由题意知a1=a2a3,a2=a1a3,a3=a1a2,三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3)2

    ∴a1a2a3=0或a1a2a3=1

    即a21=0或a21=1

    ∴a1=0或a1=1或a1=-1

    当a1=0时,a2=a3=0

    当a1=1时,a2=a3=1

    当a1=-1时,a2=-1,a3=-1

    ∴共有三个这样的三数组(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1).

    (2)取a1,a2,a3,a4,a5,a6的绝对值并按大小顺序排列,不妨设为0≤b1≤b2≤b3≤b4≤b5≤b6,则b1,b2,b3,b4,b5,b6也满足题意要求.

    ①若b1=0,则b2,b3,b4,b5,b6中至少有一个为0,即b2=0.由于b1=b2=0,∴b3=b4=b5=b6=0,∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=0

    ②若b1≠0,则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6≥b2b3b4b5

    ∴b1≥b2b3b4b5

    又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4≤b2b3b4b5

    ∴b1=b2=b3=b4=b5=b6,b1=b41,b1=1即a1,a2,a3,a4,a5,a6的绝对值均为1,它们只能是+1或 -1.

    i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件.

    ii)若a1,a2,a3,a4,a5,a6中有-1,则最少有2个-1,最多有5个-1.

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