• 数学竞赛初赛试题分析

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    ——初赛试题分析

    2009年6月13日

    \f第 四 届 大 学 生 数 学 竞 赛 ◎ 初 赛 试 题 分 析

    一、填空题

    评讲

    \f1. 设是柱面x2+y2 =4介于1≤z≤3之间的外 2 2 2 2 x ? y ? z d x d yxy ? d d z ? _ _ _ _ _ _ _ _ 侧曲面部分,则 ? ?

    z

    ?

    3

    xd y, 对于?? x ? y ?z d

    2 2 2 ?(外 )

    x2 ? y2 ? 4

    1

    因 ? 在XOY平面上的 投影为零,

    2 2 2

    o

    y

    x

    3

    ? x y? 0 ? ? x ?y ?z dd

    ? ( 外 )

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f对于

    ? (外 )

    ??

    x dydz ?

    2

    ? ( 前 侧 )

    yz? ? yz ? ? xdd ? xdd

    2 2 ? ( 后 侧 )

    z

    3

    z 3

    x2 ? y2 ? 4

    投影

    1

    D

    1

    ?2

    o

    o

    y

    2

    y

    x

    4

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f对于

    z 3

    ? (外 )

    ??

    x 2 dydz ?

    ? ( 前 侧 )

    y z? ? yz ? ? xdd ? xdd

    2 2 ? ( 后 侧 )

    2

    D

    1

    ?2

    o

    ? ??(4? y )dydz ???(4? y2)dydz

    D D

    2

    y

    ? 0

    所以:原式=0

    2

    ,y , z) ?x 关于 x 为偶函数 注意到:被积函数 f (x 积分区域 ? ( 外 ) 关于坐标面yoz对称,则积分=0

    5

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f想一想,若第二个积分为

    2

    ? (外 )

    ??

    xd yd z ? ?

    注意到 x ? ? 4 ? y , 前侧取“+”后侧取“-” :

    \f?x2 ? y2 ? z2 ? a2 2. 设L为空间圆周曲线: ? , ?x ? y ? z ? 0

    则积分

    x d s ? _ _ _ _ _ _ _ ?

    2 L

    不能用格林公式, 不能直接用斯托克斯公式

    7

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f?

    x ds

    2

    由对称性

    L

    ?

    L

    y ds ?

    2

    ?

    z ds

    2

    L

    (称为“轮换对称性” )

    ?

    L

    1 1 2 2 2 ? x ds ? ( x ? y ? z )d s ? 3L 3

    2

    ?

    L

    a ds

    2

    ?x ? y ? z ? a L: ? ?x ? y ? z ? 0

    2 2 2

    8

    2

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f?

    L

    1 1 2 2 2 x ds ? (x ? y ? z )ds ? ? 3L 3

    2

    ?a

    L

    2

    ds

    ?x2 ? y2 ? z2 ? a2 L: ? ?x ? y ? z ? 0

    1 2 1 2 2 ? a ? d s ? a ? 2? a ? ? a 3 L 3 3

    3

    注:除重积分外,都可以将积分区域 代入被积函数

    9

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f2 2 2 2 3. 设S是球面 x ? y? z? R的外侧,则

    积分

    ?? x zdxdy?_____

    2 s

    2 s:x2?y2?z2?R

    解 :

    ??

    x zd xd y?

    2

    ??? x

    ? 2

    2

    dV

    奥高公式

    2

    由对称性

    V?? V ? ? ?y d ? ?z d

    ? ?

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    10

    \fs:x ?y ?z ?R

    2

    ??

    2

    x zd xd y?

    2

    2 2

    ???

    ?

    2 2 x 2dV ? y d V ? z V ? ? ? ? ? ? d ? ?

    1 2 2 2 (x ?y ?z ) d V 原式 ? ? ? ? 3?

    2 2 2 2 ? : x ? y ? z ? R

    1 1 2 4 3 2 ? ??? R d V ? ? R ? ? R 3 ? 3 3

    ?

    ?

    换球坐标系

    11

    4 ? ?R5 (√ 15

    第四届大学生数学竞赛◎初赛试题分析

    \f1 1 2 2 2 2 x d V ? a dV ? ? ( x ? y ? z ) d V ??? ??? ? ? ? 3 ? 3?

    2

    2 2 2 2 ? \r

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