• 导数竞赛辅导

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    导 数

    \f一、导数定义式的几种等价形式

    f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0 x ? x0

    ?y ? lim ? x?0 ? x

    左导数、右导数:

    f ( x ) ? f ( x0 ) ? ( x0 ) ? lim? f? x ? x0 x ? x0 f ( x ) ? f ( x0 ) ? ( x0 ) ? lim? f? x ? x0 x ? x0

    \f二、判定函数在某点是否可导的主要方法

    1.根据可导的定义 直接由定义考虑

    f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) lim lim 是否存在 或 h h? 0 x ? x0 x ? x0

    2.根据可导的充要条件

    ? ( x0 ), f ? ? ( x0 ) 是否都存在且相等 考虑左右导数 f ?

    3.根据可导的必要条件 考虑是否不连续 (连续不一定可导,但不连续一定不可导!)

    \f三、必须用定义求导数的情形

    1. 分段函数在分段点处的导数. 2. 含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数.

    3. 仅知函数 f ( x ) 在一点可导,

    不知在该点的附近(一个邻域)是否可导. 【注】 某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。

    \f四、常数和基本初等函数的求导公式

    (C )? ? 0

    ( x )? ? ? x

    ?

    ? ?1

    特别地: ( x )? ?

    1

    ?

    (sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x

    2 x 1 ? 1 ? ?? 2 x x

    (cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x

    \f(a x )? ? a x ln a

    1 (log a x)? ? x ln a

    ( e x )? ? e x

    1 (ln x)? ? x 1 (ln | x |)? ? x

    (arcsin x)? ?

    1 1? x

    2

    (arccos x)? ? ?

    1 1 ? x2

    1 (arctan x)? ? 1 ? x2

    1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2

    \f五、求导数的主要法则

    1. 导数的 + 、-、×、÷ 运算法则.

    2. 复合函数的求导法则.

    3. 反函数的求导法则.

    4. 隐函数的求导法则.

    5. 由参数方程所确定的函数的求导法则. 6. 对数求导法. 7. 分段函数的求导法. ___非分段点处按法则求导,分段点处按定义求导.

    \f六、 导数的几?#25105;?#20041;

    f ?( x0 )

    在点 的切线斜率

    y

    y ? f ( x)

    C

    注:

    .

    x

    切线方程:

    法线方程:

    o

    \f七、求高阶导数的主要方法

    (1)逐次求导归纳法;

    (2)n 阶导数的公式及求导法则; 注:求一点处高阶导数 的好方法

    ------函数的幂级数展开(以后学)

    \f1.常用的 n 阶导数公式 (a 为常数)

    (1)

    (e )

    ax ( n )

    ?a e

    (n)

    (n)

    n ax

    (2)

    (sin ax)

    ? a sin(ax ?

    n

    n

    n

    ? n?

    2

    )

    (cos a x)

    (3)

    1 ( n ) (?1) ? n! ( ) ? n ?1 x?a ( x ? a)

    ? a cos(ax ? n ? ? ) 2

    (4) ( x k ) ( n )

    ?k (k ? 1) ? ? ?n ! ?0 ?

    (k ? n ? 1) x

    k ?n

    , n?k n?k n?k

    (k为正整数。)

    \f2.高阶导数的运算法则

    设函数

    都有 n 阶导数 , 则

    (C为常数)

    上式称为莱布尼兹(Leibniz) 公式。

    \f八、可微、可导、连续、极限的关系

    可微 可导 连续 极限存在

    九、奇函数、偶函数、周期函数的导数

    可导奇函数 f ( x ) 的导\r

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