• 八年级数学下册知识点总结(全)

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    八年级数学下知识点总结

    函数及其相关概念

    1、变量与常量

    在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。

    一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。

    2、函数解析式

    用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

    使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。

    3、函数的三种表示法及其优缺点

    (1)解析法

    两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。

    (2)列表法

    把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

    (3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

    4、由函数解析式画其图像的一般步骤

    (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

    (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

    (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

    正比例函数和一次函数

    1、正比例函数和一次函数的概念

    一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数中的b为0?#20445;?img src="http://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=600&md5sum=78535e178a5fdfc9fa53e70a5d7d7d5d&sign=3908c5f695&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=40&ipr=%7B%22t%22%3A%22img%22%2C%22r%22%3A%22r_1%22%2C%22w%22%3A%22553.53%22%2C%22h%22%3A%22415.13%22%2C%22dataType%22%3A%22jpeg%22%2C%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage3.png%22%7D" onerror="this.style.display='none'">(k为常数,k0)这?#20445;瑈叫做x的正比例函数。

    2、一次函数的图像

    所有一次函数的图像都是一条直线。

    3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

    一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。(如下图)

    4. 正比例函数的性质

    一般地,正比例函数有下列性质:

    (1)当k>0?#20445;?#22270;像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

    (2)当k<0?#20445;?#22270;像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

    5、一次函数的性质

    一般地,一次函数有下列性质:

    (1)当k>0?#20445;瑈随x的增大而增大

    (2)当k<0?#20445;瑈随x的增大而减小

    6、正比例函数和一次函数解析式的确定

    确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

    k的符号

    b的符号

    函数图像

    图像特征

    k>0

    b>0

    y

    0 x

    图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。

    b<0

    y

    0 x

    图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。

    K<0

    b>0

    y

    0 x

    图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小

    b<0

    y

    0 x

    图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。

    注:当b=0?#20445;?#19968;次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。

    四边形

    1.四边形的内角和与外角和定理:

    (1)四边形的内角和等于360°;

    (2)四边形的外角和等于360°.

    2.多边形的内角和与外角和定理:

    (1)n边形的内角和等于(n-2)180°;

    (2)任意多边形的外角和等于360°.

    3.?#21483;?#22235;边形的性质:

    因为ABCD是?#21483;?#22235;边形

    4.?#21483;?#22235;边形的判定:

    .

    5.矩形的性质:

    因为ABCD是矩形

    6. 矩形的判定:

    四边形ABCD是矩形.

    7.菱形的性质:

    因为ABCD是菱形

    8.菱形的判定:

    四边形四边形ABCD是菱形.

    9.正?#21483;?#30340;性质:

    因为ABCD是正?#21483;?p>

    (1) (2)(3)

    10.正?#21483;?#30340;判定:

    四边形ABCD是正?#21483;?

    (3)∵ABCD是矩形

    又∵AD=AB

    ∴四边形ABCD是正?#21483;?p>11.等腰梯形的性质:

    因为ABCD是等腰梯形

    12.等腰梯形的判定:

    四边形ABCD是等腰梯形

    (3)∵ABCD是梯形且AD∥BC

    ∵AC=BD

    ∴ABCD四边形是等腰梯形

    14.三角形中位线定理:

    三角形的中位线?#21483;?#31532;三边,并且等于它的一半.

    15.梯形中位线定理:

    梯形的中位线?#21483;?#20110;两底,并且等于两底和的一半.

    一 基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,?#21483;?#32447;间的距离,?#21483;?#22235;边形,矩形,菱形,正?#21483;危?#20013;心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.

    二 定理:中心对称的有关定理

    ※1.关于中心对称的两个图形是全等形.

    ※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中?#27169;?#24182;且被对称中心平分.

    ※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.

    三 公式:

    1.S菱形 =ab=ch.(a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ,h为c边上的高)

    2.S?#21483;?#22235;边形 =ah. a为?#21483;?#22235;边形的边,h为a上的高)

    3.S梯形 =(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底,h为梯形的高,L为梯形的中位线)

    四 常识:

    ※1.若n是多边形的边数,则对角线条数公式是:.

    2.规则图?#25569;?#21472;一般“出一对全等,一对相似”.

    3.如图:?#21483;?#22235;边形、矩形、菱形、正?#21483;?#30340;从属关系.

    4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、?#32570;?#19977;角形、正奇边形、等腰梯形 …… ;仅是中心对称图形的有:?#21483;?#22235;边形 …… ;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正?#21483;巍?#27491;偶边形、圆 …… .注意:线段有两条对称轴.

    ※5.梯形中常见的辅助线:

    平移与旋转

    旋转

    1.

    旋转的定义:

    在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转。

    2.

    旋转的性质:

    旋转后得到的图形与原图形之间有:对应点?#21483;?#36716;中心的距离相等,旋转角相?#21462;?p>中心对称

    1.

    中心对称的定义:

    如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么这两个图形叫做中心对称。

    2.

    中心对称图形的定义:

    如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合,这个图形叫做中心对称图形。

    3.

    中心对称的性质:

    在中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中?#27169;?#24182;且被对称中心平分。

    轴对称

    1.

    轴对称的定义:

    如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对 称图形,这条直线叫做对称轴。

    2.

    轴对称图形的性质:

    ①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相?#21462;?

    ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相?#21462;?

    ③等腰三角形的“三线合一”。

    3.轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段/对应角相?#21462;?p>图形变换

    图形变换的定义?#21644;?#24418;的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。

    一元二次方程

    1、一元二次方程:

    ① 概念:只含有一个未知数,且可以化为(a ,b ,c为常数,且)的整式方程叫做一元二次方程。

    是一元二次方程的一般形式。其中,分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、常数项;分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。

    (强调:项和系数要包括前面的符号)

    ?#38057;?#19968;元二次方程的条件:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)二次项系数不能为0;(4)未知数的最高次数为2.

    ② 注意事项:

    (1)二次项系数是一般形式的重要组成部分。

    (2)二次项、一次项和常数项都是在一般形式下定义的,判断各项系数?#20445;?#24517;须先将方程方程化为一般形式。

    (3)任何一个一元二次方程均可经过整理(去括号、移项、合并同类项)均可化为一般形式。

    2、一元二次方程的解法

    ⑴直接开平方法解一元二次方程:

    ①如的方程都可以?#27599;?#24179;方的方法求出它的解,这种解法叫做直接开平方法

    ②利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点:经过整理、变形后得到等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负数;

    ③理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。

    ⑵用配方解一元二次方程:

    ①把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程,叫做配方,用配方法求一元二次方程的解的方法叫做配方法。

    ②配方法解一元二次方程是以配方为手段,以直接开平方为基础的一种解一元二次方程的基本方法。

    ③用配方法解一元二次方程的步骤:

    ㈠二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;

    ㈡移项:方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;

    ㈢配方:方成左右两边同时?#30001;?#19968;次项系数一半的平方,使方程左边变成一个完全平方式,右边是一个常数;

    ㈣求解:如果右边常数是非负数,就用直接开平方法解一元二次方程。

    ⑶用公式法解一元二次方程:

    ①方程的求根公式:,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

    ②利用求根公式解一元二次方程的步骤:

    ㈠把方程整理为一般形式,确定的值;

    ㈡计算的值;

    ㈢当?#20445;?#25226;的值代入求根公式计算,从而求出方程的解。

    ③求根公式专指一元二次方程的求根公式,只有确定方程是一元二次方程?#20445;?#25165;可以使用

    ④公式法是解一元二次方程的一般解法

    ⑷用因式分解法解一元二次方程

    ①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解,这种解方程的方法叫因式分解法

    ②因式分解法的理论依据:两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于零,即

    ③用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点:等号一边的代数式可以做因式分解,另一边为0.

    ④利用因式分解法解一元二次方程的步骤:

    ㈠将方程的右边化为一;

    ㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形式;

    ㈢令两个因式分别为0,得到两个一元一次方程;

    ㈣分别解两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

    3、一元二次方程解法的顺序:

    先特殊,后一般,先考虑是否用直接开平方法和因式分解法解,不能用这两种方法?#20445;?#20877;用公式法和配方法。当二次项系数为一,一次项系数为偶数?#20445;?#29992;配方法方便。

    4、根的判别式

    叫做一元二次根的判别式,记作△= ,若方程有两个不相等的实数根△>0;

    有两个相等的实数根△=0

    没有实数根△<0

    有两个实数根△(此时两根可能等,也可能不等)。

    5、一元二次方程的应用

    列方程解应用题,应透彻理解题意,寻找等量关系。

    列方程?#20445;?#35201;注意列出的方程必须满足以下三个条件:

    ⑴方程左右两边表示同类量;

    ⑵方程左右两边的同类量的单位一样;

    ⑶方程两边的数值相?#21462;?p>※增长率问题公式

    增长后的数=基数(1+增长率)(n 指增长的次数)

    ?#26723;?#21518;的数=基数(1-增长率)(n 指?#26723;?#30340;次数)

    ※长方体、正方体体积公式

    ※根据题的实际意义对方程的根进行取舍。

    方差与频数分布

    数据的波动知识框架图

    极差

    方差 用计算器计算

    标准差 比较事物的有关性质

    方差与频数分布 用样本估计总体的有关特征

    数据的分布 频数

    频率

    频数分布表

    频数分布图

    数据的波动

    一、极差

    1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差,叫做这组数据的极差;

    2、极差=数据中的最大值—数据中的最小值。

    二、方差

    1、在一组数据中,各数据与他们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,常用来表示,即:

    2、方差的三种公式:

    基本公式:

    化简公式:

    化简公式的变形公式:

    3、设化简后的新数据组的方差为的方差为(其中),则

    4、方差的作用:用于表述一组数据波动的大小,方差?#21483;。?#35813;数据波动?#21483;。?#36234;稳定。

    三、标准差

    1、方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,即:

    2、标准差用于描述一组数据波动的大小;

    3、标准差的单位与原数据的单位相同。

    四、方差与标准差的关系

    1、

    2、的作用相同、单位不同。

    五、频数分布与频数分布图

    1、数据的分组整理

    组限、组距和组数:

    把一套数据分成若干个小组,累计各小组的数据个数。期中每个分数段是一个“组区间?#20445;?#20998;数段两端的数值是“组限?#20445;?#20998;数段的最大值与最小值的差是“组距?#20445;?#20998;数段的个数是组数”.

    2、频数、频率与频数分布表、频数分布图

    ①每个小组的数据的个称为这组数据的频数;

    ②频率:每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率;

    ③频率的计算公式:

    每组的频率=这组的频数/数据的总个数

    ④各小组的频数之和等于数据总数;各小组的频数之和等于1.

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