• 向量及向量的基本运算

    来源:互联网 由 z7661771 贡献 责任编辑?#21644;?#23567;亮  

    ●\t向量及向量的基本运算

    一、教学目标:1.理解向量的有关概念,掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则,理解向量共线的充要条件.

    2.会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题.不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.

    二、教学重点:向量的概念和向量的加法和减法法则.

    三、教学过程:

    (一)主要知识:

    1)向量的有关概念

    ①向量:既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:。向量的大小即向量的模(长度),记作||。

    ②零向量:长?#20219;?的向量,记为,其方向是?#25105;?#30340;,与?#25105;?#21521;量平行。<注意与0的区别>

    ③单位向量:模为1个单位长度的向量。

    ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。?#25105;?#19968;组平行向量都可以?#39057;?#21516;一直线上。相反向量:我们把与向量长度相等,方向相反的向量叫做的相反向量。记作-

    ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合,记为

    2)向量加法

    ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设,则+==。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明:(1); (2)向量加法满足交换律与结合律;

    3)向量的减法

    ① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有: (i)=; (ii) +()=()+=

    (iii)若是互为相反向量,则=,=,+=

    ②向量减法:向量加上的相反向量叫做的差,记作:。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。

    的作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(有共同起点)。

    注:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

    (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

    4)实数与向量的积

    ①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:

    (Ⅰ)

    (Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是?#25105;?#30340;。

    ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,则

    ①λ(μ)=(λμ)

    ②(λ+μ)

    ③λ(+)=λ

    5)两个向量共线定理

    向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=

    6)平面向量的基本定理

    如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的?#25105;?#21521;量,有且只有一对实数使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

    7)特别注意:

    (1)向量的加法与减法是互逆运算。

    (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。

    (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况。

    (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关。

    (二)主要方法:

    1.充分理解向量的概念和向量的表示;

    2.数形结合的方法的应用;

    3.用基底向量表示?#25105;?#21521;量唯一性;

    4.向量的特例和单位向量,要考虑周全.

    (三)例题分析:

    例1、判断下列各命题是否正确

    (1)零向量没有方向 (2)若

    (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

    (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若,则

    (7)若,则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则

    (9)已知A(3,7),B(5,2),将按向量=(1,2)平移后得到的向量的坐标为(3,-3)

    (10)的充要条件是

    解:(1) 不正确,零向量方向?#25105;? (2) 不正确,说明模相等,还有方向 (3) 不正确,单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确,有向线?#38382;?#21521;量的一种表示形式 (5)正确, (6)正确,向量相等有传递性 (7)不正确,因若,则不共线的向量也有。(8) 不正确, 如图 (9)不正确,∵=(1,2),∴平移公式是,将A(3,7),B(5,2)分别代入可求得,故=(6,4)-(4,9)=(2,-5)。

    (10)不正确,当,且方向相反时,即使,也不能得到

    [点评]正确理解向量的有关概念

    例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,设

    解:

    .

    [点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示

    练习: △ABC中,

    .如图

    解:

    例3、一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8km ,求河水的流速.

    解:设表示垂直于对岸的速度,表示水流速度,则为实际速度

    航行时间为4km÷2km/h=2h

    在△ABC中

    所以, 河水的流速为

    [点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则

    例4、在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,用向量的方法证明:

    DE平行且等于0.5BC

    分析:要证明DE平行且等于0.5BC,只要

    解:如图

    又D,E为中点

    所以DE平行且等于0.5BC

    [点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了

    练习: 已知G是△ABC的重?#27169;?#27714;证:

    证明:以向量为邻边作平行四边形GBEC,则,又由G为△ABC的重心知,从而,∴

    例5、设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值

    分析:使

    解:, 使

    [点评]共线或平?#24418;?#39064;,用向量或坐标平行的充要条件解决

    例3. 经过重心的直线与分别交于点

    ,求的值。

    解:设,则

    共线,得

    存在实数,使得,即

    从而,消去得:

    (四)巩固练习:

    1.已知梯形中,分别是的中点,若,用表示

    解:(1)

    (2)

    (3)

    2. (1)设两个非零向量不共线,如果, 求证:三点共线.

    (2)设是两个不共线的向量,已知,若三点共线,求的值.

    (1)证明:因为

    所以

    又因为

    又因为公共点

    所以三点共线;

    (2)解:

    因为共线

    所以

    所以

    四、小结:

    1)向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量

    2)向量加法减法:

    3)实数与向量的积

    4)两个向量共线定理

    5)平面向量的基本定理, 基底

    五、作业:

    向量的概念及基本运算

    1向量及向量的基本运算

    1向量及向量的基本运算 - 5.1 向量及向量的基本运算 一、知识要点归纳 1)向量的有关概念 ) ①向量:既有大小又有方向的量。向量一般用 a , b , c ……...

    向量及向量的基本运算

    向量的运算基本定律

    向量的运算基本定律 - 向量的运算基本定律 1.实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么: ? ? ⑴结合律:λ (μ a )=(λμ ) a ; ? ? ? ⑵...

    向量复习专题一向量的基本运算

    向量复习专题一向量的基本运算 - 向量复习专题一 一、平行、垂直、求模、求数量积问题 向量的基本运算 ? ? 例.已知a ? (3,, 4) b=(2, ? 1),问k为...

    平面向量基本运算

    向量的基本运算

    向量的基本运算 - 向量三阶行列式 关于三阶行列式的计算,首先给出一个实例,A、B、C、D、E、F、G、H、I 都是数字。 先按斜线计算 A*E*I,B*F*G,C*D...

    平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

    平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 - 05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点:向量、零向量、单位向量、平行...

    高一下数学:向量及其运算

    高一下数学:向量及其运算 - 高一下数学:向量及其运算 一.向量的基本概念与基本运算: 1 向量的概念: 新疆 源头学?#26377;?#23627; 特级教师 王新敞 [email protected] http:...

    老师教案1 向量的概念与基本运算(1)――非坐标形式...

    六、平面向量(5 ?#38382;?(一平 面向量知识网络 向量 概念 向量的模 相等的向量 单位向量 零向量 运算 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘积 向量的数量积 ...

    高二数学-96空间向量的坐标运算(B版)

    向量的直角坐标运算 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 知识点3 夹角和距离公式 知识点4 向量和平面垂直 如果表示...

    线代基本知识点

    《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊...2.向量的运算: (1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2)向量内积 α'β=...

    高等数学及其应用第五版目录

    高等数学及其应用第五版目录_理学_高等教育_教育专区。第五章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算习题5-1 第二节 点...

    高数考试二?#27573;?/a>

    高数考试二?#27573;?- 第七章 1:向量及其线性运算,(向量的模,向量的线性运算) 2:向量数量级的计算 3、平面及其方程求解(点法式方程,点到平面的距离) 第八章 1....

  • 与《向量及向量的基本运算》相关:
  • 向量的概念和基本运算
  • 平面向量的基本定理及向量坐标运算
  • 高三数学平面向量向量及向量的基本运算
  • 高中数学高考复习平面向量基本定理及向量的坐标运算完
  • 人教A版?#30446;?#25968;学?#38382;?#35797;题及解析(24)平面向量基本
  • 平面向量基本定理及向量的坐标运算
  • 平面向量的基本概念及线性运算
  • 5-2平面向量基本定理及向量的坐标运算-精选文档
  • 高考一?#25351;?#20064; 平面向量的基本定理及向量的坐标运算教
  • 高考数学一?#25351;?#20064;平面向量的基本定理及向量的坐标运算
  • 本站网站首页首页教育资格全部考试考试首页首页考试首页职?#24213;?#26684;考试最近更新儿童教育综合综合?#30446;?2?#30446;??#30446;?/a>作文总结建筑资料库考研建筑专?#24213;?#26009;考试首页?#27573;?#22823;全公务员考试首页英语首页首页教案模拟考考试pclist爱学首页日记语文古诗赏析教育教育资讯1高考资讯教育头条幼教育儿知识库教育职场育儿留学教育高考公务员考研考试教育资讯1问答教育索引资讯综合学习网站地图学习考试学习方法首页14托福知道备考心经冲刺宝典机经真题名师点睛托福课程雅思GREGMATSAT留学首页首页作文
    免责声明 - 关于我们 - 联系我们 - 广告联系 - 友情链接 - 帮助?#34892;?/a> - 频道导航
    Copyright © 2017 www.36037731.com All Rights Reserved
    777788大丰收一波中特